บทเรีนนออนไลน์เรื่องเซต: สับเซตและเพาเวอร์เซต

สับเซต (Subset)

ถ้าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แล้ว จะเรียกว่า A เป็นสับเซตของ B จะเขียนว่า
เซต A เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊂ B

ถ้าสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B จะเรียกว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B แทนด้วย A ⊄ B

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง)

2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)

3) ø ⊂ A (เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)

4) ถ้า A ⊂ ø แล้ว A = ø

5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (สมบัติการถ่ายทอด)

6) A = B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ B ⊂ A

7) ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2n สับเซต

นิยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A⊂B และ A ≠ B

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a , b , c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่

ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}

มีจำนวนสมาชิกทั้งสิ้น 7 สับเซต

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซตA จะมีทั้งสิ้น 2n –1 สับเซต

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของสับเซตออกมาในรูปของแผนภูมิได้ดังนี้ครับ

จากรูปแสดงได้ว่า A⊂B

คำว่า เพาเวอร์เซต เป็นคำศัพท์เฉพาะ ซึ่งใช้เป็นชื่อเรียกเซตเซตหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับเรื่องสับเซต

เพาเวอร์เซตของ A เขียนแทนด้วย P(A)

P(A) คือเซตที่มีสับเซตทั้งหมดของ A เป็นสมาชิก

ให้ A , B เป็นเซตใดๆ

1) ø ⊂ P(A)

2) A ⊂ P(A)

3) P(A) ≠ ø

4) P(A) ⊂ P(B) ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B

5) ถ้า A มีสมาชิก n ตัว P(A) จะมีสมาชิก 2n ตัว